5.6 EL MÉTODO HÚNGARO

MÉTODO HÚNGARO

El método húngaro es un método de optimización de problemas de asignación, conocido como tal gracias a que los primeros aportes al método clásico definitivo fueron de Dénes König y Jenő Egerváry dos matemáticos húngaros.

Este método utiliza la propiedad de reducción de matrices para reducir la matriz original de costo, hasta que los costos C i j asociados con la asignación óptima, sean cero y todos los otros costos sean no negativos.

En cada iteración del método húngaro, se reduce la matriz de tal manera que haya al menos un cero en cada renglón y columna, comprobando con el teorema de König si se ha alcanzado la solución óptima. Si el número mínimo de renglones y/o columnas necesarios para cubrir todos los ceros es n, entonces existe una asignación óptima (no necesariamente única).

El algoritmo tal como se detallará a continuación está diseñado para la resolución de problemas de minimización únicamente, ya que es más eficaz para resolver el problema del transporte por el alto grado de degeneración que pueden presentar los problemas de asignación.

Los problemas de asignación incluyen aplicaciones tales como asignar personas a tareas. Aunque sus aplicaciones parecen diferir de las del problema del transporte, constituye un caso particular. Los problemas de transporte y asignación son casos particulares de un grupo más grande de problemas, llamados problemas de flujo en redes.

Suposiciones de un problema de asignación:

1. El número de asignados es igual al número de tareas (se denota por n). (esto puede variar).
2. Cada asignado se asigna exactamente a una tarea.
3. Cada tarea debe realizarla exactamente un asignado.
4. Existe un costo cij asociado con el asignado i (i=1,2,…,n).
5. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las asignaciones para minimizar los costos totales

Procedimiento:

El Método Húngaro consta de los siguientes pasos:

Paso 1: En la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada fila y restarlo de todos los elementos de la fila.
Paso 2: En la matriz que resulte del Paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna.
Paso 3: Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el Paso 2.

A continuación presentaremos un ejemplo que muestra la aplicación del Método Húngaro que nos permite decidir la asignación de trabajadores a puestos de trabajo.

Ejemplo:


Un equipo de 3 ingenieros debe ser asignado para la realización de 3 tareas, donde cada ingeniero debe hacer una tarea. Se requiere encontrar la asignación de costo mínimo para lo cual se dispone de los costos asociados a que el ingeniero i realice la tarea j. Por ejemplo, representa el costo correspondiente a que el ingeniero 1 asuma la tarea 1.

 

Aplicar el Método Húngaro para encontrar una asignación óptima de los ingenieros a las tareas.


El Paso 1 del Método Húngaro requiere identificar el valor mínimo de cada fila. En el caso de la fila 1 dicho valor es $9 siendo el costo de que el ingeniero realice la tarea 3.
En particular si se dispone de un problema de mayor tamaño, hacer uso de Excel facilita los cálculos tal como se muestra en la siguiente imagen:

A continuación se resta el mínimo de cada fila a cada uno de los valores de la fila respectiva, para obtener la matriz reducida:

La aplicación del Paso 2 produce los mínimos de cada columna según se observa en la tabla anterior. Al restar esos valores de las columnas respectivas se obtiene la siguiente matriz reducida:

Las celdas con valor cero y color azul son la solución óptima. En consecuencia el ingeniero 1 realiza la tarea 2, el ingeniero 2 asuma la tarea 1 y el ingeniero 3 la tarea 3. Cada ingeniero realiza exactamente una tarea y el costo total de dicha asignación (valor óptimo) es de: 

$9 + $10 + $8 = $27

Los pasos presentados del Método Húngaro para el ejemplo anterior funcionaron bien debido a que los elementos cero de la matriz anterior permiten una asignación factible de ingenieros a las tareas (en el sentido que las tareas se asignan de forma única a los ingenieros). Aunque no siempre es posible lograr una solución factible en la aplicación, caso en el cual se requiere de pasos adicionales para la aplicación del método.